Lecture 9

上一节课我们引入了一个新的概念：mixed strategies。这也是接下来几节课的重点。

$p_i$表示使用每一个策略的概率

• $p_i(s_i)$表示对于pure strategy $s_i$的概率是$p_i$
• $p_i(s_i)$可以是0，例如(0.5, 0.5, 0); 也可以是1，这个时候表示pure strategy.也就是说我们之前所有的博弈策略都是它的子集。

payoffs from the mixed strategy:

The expected payoff of the mixed strategy 就是期望。

计算混合策略的期望例子

因此玩家1的mixed strategy p = (1/5, 4/5)

玩家2的mixed strategy q = (1/2, 1/2)。

那么如何计算p的payoffs呢？

分成两部，首先计算pure strategy的期望，然后计算混合期望：

1. $Eu_1(A, q) = 2*0.5+0*0.5 = 1$

$Eu_1(B, q) = 0*0.5+1*0.5 = 0.5$

1. 计算混合期望：

$Eu_1(p, q) = 0.2*1+0.8*0.5 = 0.6$

解释：如果有一个pure strategy不是最佳对策，那么就会拉低其他的平均期望。

定义：A mixed strategy profile $(p_1^*, p_2^*, \dots, p_n^*)$在NE 当且仅当对每一个i，$p_i^*$都是最佳对策。

网球比赛

找到纳什均衡点，那么玩家1的两个pure strategy的期望必须相等！

$Eu_1(L, q) = 50q+80(1-q)$

$Eu_1(R, q) = 90q+20(1-q)$

令两者相等（也就是对于任意一种pure strategy，它们的payoffs必须相等）：

$50q+80(1-q) = 90q+20(1-q)$, 得到$q = 0.6$

同理可以求得p = 0.7

因此$NE = [(0.7, 0.3), (0.6, 0.4)]$

如果发现玩家2打左边的概率大于0.6，那么玩家1应该往右打，这样可以增加得分的概率。（可以通过计算获得）

证明上面状态是纳什均衡点

我们将上面的概率带入：

玩家1的payoffs: L -> 50*0.6+80*0.4 = 0.62

R -> 0.62

因此mixed strategy payoffs = 0.62*0.7+0.62*0.3 = 0.62

我们改变(p, 1-p)，发现无论怎么改变，总期望的收益都是不变的，因此没有严格大于其期望的策略，使得它能够大于0.62。

微小扰动

现在玩家2请了教练，增加了自己左手的能力，新的收益矩阵如下：

通过计算，p,q都会下降，这表明大家都会更多的通过右手进行比赛。

mixed strategy examples

• 足球射门
• 911后安检仪数量不足，机场放安检仪：他们就是随机进行检查。